Верно без буквенного наращения: в начале XX века.
Оба варианта правильны.
Варианты равноправны.
Если сама конфета называлась "Удача", то верен первый вариант. Если она так не называлась, но к ней прилагалось (или на ней было написано) пожелание удачи, то верен второй вариант.
Скорее: какая ветка (определение).
Извините, но контекст всё равно недостаточен. Выскажем предположение: [Нечто происходит] из века в век. Но всё ж — доколе [оно будет происходить].
Первые два варианта вполне возможны.
Корректно: греческие "Темные века".