Верно без буквенного наращения: в начале XX века.
Оба варианта правильны.
Варианты равноправны.
Скорее: какая ветка (определение).
Извините, но контекст всё равно недостаточен. Выскажем предположение: [Нечто происходит] из века в век. Но всё ж — доколе [оно будет происходить].
Первые два варианта вполне возможны.
Корректно: греческие "Темные века".