Запятая ставится: Будучи живыми организмами, деревья улучшают климат, состояние окружающей среды.
Такая пунктуация возможна. Обратите внимание на слитное написание: будучи неуслышанными.
В данном случае слова как еврей используются в значении будучи евреем. Подобные приложения с союзом как выделяются запятыми.
Не обособляются распространенные определения, стоящие после существительного, если последнее само по себе в данном предложении не выражает нужного смысла и нуждается в определении.
Таким образом, первая запятая не требуется: Будучи человеком наделенным кое-какими способностями, я по совету академика стал записывать мысли, приходящие мне в голову.
Действительно, вопрос непростой. В «Справочнике по пунктуации: для работников печати» Д. Э. Розенталя (М., 1984) указано: «Всегда обособляется приложение при личном местоимении». В качестве иллюстрации приведен пример: Мне, как лицу высокопоставленному, не подобает ездить на конке (Ч.).
В «Полном академическом справочнике» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006), в параграфе 63, формулируется следующее правило: «При отнесенности к личным местоимениям место приложения не играет роли, оно обособляется всегда».
При этом в обоих справочниках есть особое правило об оборотах с союзом как. Д. Э. Розенталь формулирует его так: «Обособленное приложение может присоединяться союзом как (с дополнительным значением причинности), а также словами по имени, по фамилии, по прозвищу, родом и др. (независимо от того, какой частью речи выражено определяемое слово): Илюше иногда, как резвому мальчику, так и хочется броситься и переделать все самому (Гонч..); Как старый артиллерист, я презираю этот вид холодного украшения (Ш.); Леонтьев увлекся этой мыслью, но, как человек осторожный, пока что о ней никому не рассказывал (Пауст.)... Примечание. Если союз как имеет значение «в качестве», то присоединяемый им оборот не обособляется: Полученный ответ рассматривается как согласие (Аж.)... Не обособляется и приложение с союзом как, характеризующее предмет с какой-либо одной стороны: Читающая публика успела привыкнуть к Чехову как юмористу (Фед.).
В «Полном академическом справочнике» подчеркивается: «Приложение с союзом как надо отличать от оборота со значением 'в качестве'. Ср.: Он, как инженер, должен быть руководителем стройки (будучи инженером, должен руководить; приложение). — Он приехал на стройку как инженер (в качестве инженера...)».
Сравним с приведенным в вопросе предложением: Я (?) как читатель (?) обращаю. «Как читатель» означает ‘будучи читателем’. Как и в предложении Он, как инженер, должен быть руководителем стройки слова как инженер означают ‘будучи инженером’.
Обратим внимание и на то, что необособляемые обороты с как в значении ‘в качестве’ в обоих справочниках занимают позицию конца предложения и являются частью сказуемого. В «Полном академическом справочнике» дается прямая отсылка к следующему правилу (§ 90, б): «Обороты со сравнительными союзами (частицами) как, словно, будто, точно, как будто, что не выделяются запятыми <...> при передаче значения 'в качестве' (оборот является частью сказуемого): Сергей Лазо был прислан комитетом как главнокомандующий (Фад.); ...Тамара Ивановна поняла этот голос как посланное ей вдогонку прощание (Расп.)». Подобная отсылка есть и у Д. Э. Розенталя.
В заключение добавим, что, по нашему мнению, отсутствие запятых в приведенном предложении не должно считаться грубой ошибкой и служить поводом для снижения оценки пишущиму, т. к. правила, регламентирующие пунктуацию в подобных конструкциях, чрезвычайно сложны и не изучаются в школе. Возможно даже, что данная норма нуждается в пересмотре. Спор профессиональных филологов заставляет по крайней мере усомниться в ее существовании.