Название этой организации пишется без кавычек, правильно: Красный Крест. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Варианты равнозначны, но придраться, к сожалению, могут.
В обоих случаях оба слова в собственном названии улицы нужно писать с прописной буквы: Красный Путь.
Правильно: 16-этажный дом.
Сочетание красный диплом пишется без кавычек.
Правильно: улица Красный Казанец. См.: Агеенко Ф. Л. Словарь собственных имён русского языка. М., 2010 (электронная версия – на нашем портале).
Правильно: 2-этажный дом.