Корректно: тарелка, полная (чего?) борща.
Это, конечно, сравнительные обороты, требующие обособления.
Мужская фамилия Борщ склоняется. Правильно: замужем за Антоном Борщем (если ударение на первом слоге) или за Антоном Борщом (если ударение на втором слоге). Место ударения определяет носитель фамилии.
См. в электронных словарях на нашем портале.
Предложение построено неверно.
Правильно: туман на горном хребте.