Корректно: тарелка, полная (чего?) борща.
Это, конечно, сравнительные обороты, требующие обособления.
Предложение построено неверно.
Мужская фамилия Борщ склоняется. Правильно: замужем за Антоном Борщем (если ударение на первом слоге) или за Антоном Борщом (если ударение на втором слоге). Место ударения определяет носитель фамилии.
См. в электронных словарях на нашем портале.
Возможны оба варианта. При наличии паузы можно поставить интонационное тире. Выбор за автором.
Правильно: бород.