Возможен и склоняемый, и несклоняемый вариант.
В творительном падеже возможны оба варианта.
Возможен как склоняемый, так и несклоняемый вариант. См. подробно в «Письмовнике».
См. «Азбучные истины».
Как окказиональное (речевое) образование - возможно.
Верно: под Бородином.