Да, это этимологически родственные слова. Барин, барыня, барышня возникло из боярин, боярыня, боярышня – вероятно, сначала в обращении. Известны и другие случаи сокращения слов, часто употребляемых в обращении, ср. сударь из государь.
Если речь о ванной комнате, то правильно: коврик для ванной.
Воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» на портале.
Литературная норма: работа выполнена Борисом Ивановичем.
Вы написали верно.
Да, обособление необходимо. Подробнее см. в «Справочнике по пунктуации».