Правильно: книги Эриха Марии Ремарка.
Правильно: Чхетии Марии Ривазовне.
Правильно: Марии.
Смысл предложения не совсем ясен, но если имеется в виду "так как Мария была молодой женщиной, она отметила его воспитанность", то запятые нужны.
Это название не склоняется. Правильно: слушать Аве Мария.
Творительный падеж: Марией.
Верно с запятой.
Обращение (здесь - слово Мария) нужно обособить. При усилении эмоциональности после обращения ставится восклицательный знак. В официальных письмах принято такое оформление: обращение выносится в отдельную строку, после обращения ставится восклицательный знак. В неофициальном письме вполне возможно обойтись запятыми: Здравствуйте, Мария, обращаюсь к Вам с просьбой...