Нет, эти слова имеют разные корни и разное происхождение.

Да.

Ставить тире нет необходимости.

Различия есть: в предложении С учёбой (—) беда слово беда имеет значение 'плохо, скверно' и близко по функции к словам категории состояния (аналогично обстоит дело со словом засада в предложении С контрольной (—) засада), а в предложении С дедушкой (—) беда слово беда употреблено в значении 'несчастье, горе' и выполняет функцию подлежащего в эллиптическом предложении (самостоятельно употребляемом предложении с отсутствующим сказуемым). В эллиптических предложениях тире ставится при наличии паузы и не ставится при её отсутствии. Что касается случаев первого типа, то пунктуация в них не кодифицирована, но, как представляется, здесь можно действовать аналогичным образом: ставить или не ставить тире в зависимости от паузы.

Это этимологически родственные слова, исторически они восходят к одному и тому же корню. Но в современном русском языке однокоренными эти слова уже не являются.

Ваше предложение можно отнести к случаям речевой недостаточности. В данном перечислительном ряду нужно перед названием Бердск поставить родовое слово город. 

Верно: извещение полковника Ивановой А. А.

Обратитесь, пожалуйста, на сайт www.familii.ru

Правильно ли само утверждение? Возможно.