Да, это название заключается в кавычки.
Сочетание заключить проект некорректно. Заключить можно договор, соглашение, а проект — согласовать.
Корректно: чемпионат Франции по теннису «Ролан Гаррос». Обратите внимание на опечатку в слове теннис.
Чаще всего - сливочное масло :)
Верно: оставить балкон открытым.
См. в «Письмовнике».
Название склонять не следует: стартовал на «Ролан Гаррос».