Хочу гулять - составное глагольное сказуемое. См.: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part5.htm#31202
Подлежащее — бабушка с дедушкой.
На выходных – разговорно-просторечный вариант, допустимый в непринужденной речи. Общеупотребительно и нормативно: в выходные.
Возможен как один, так и другой вариант — в зависимости от того, что хочет акцентировать говорящий.
Оба варианта корректны, однако есть нюансы в значении. Форма множественного числа сказуемого показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается двум равноправным субъектам. Форма единственного числа указывает на то, что подлежащим является только слово мама, а слово ребенком выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия (т. е. ребенка ведут гулять, он в данном случае не является самостоятельным субъектом действия).
Возможны варианты пунктуационного оформления. Место запятой зависит от того, где ставится интонационная пауза.
В разговорной речи возможна замена "пойдем" на "пошли".
