Предпочтительно: Барин со всеми его имениями себе не принадлежит.
Нет, кавычки не нужны.
Корректно: в технике батика.
Мужские фамилии Бабух, Барабаш склоняются, женские — нет.
Для обозначения родственных отношений в официальной речи уместны слова бабушка и дедушка.
Правильны обе формы: инспекторы и инспектора. Первая стилистически нейтральна, вторая имеет разговорный оттенок.
Правильно: бабка-ёжка (строчными, через дефис). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Мужские фамилии склоняются: нет Лысака, Бабака, Гасака и т. д.