Верно: библиотеки вузов.
Правильно строчными: одного из уфимских вузов.
Их много, вот один из: http://ksana-k.narod.ru/menu/rus/beloshapkova.html
Правильно: на старт соревнования вышел 71 учащийся из 22 вузов.
Принятое написание: специальность 10.02.01 "Русский язык".
Предложение лучше перестроить. Возможный вариант: опрос, в котором приняли участие студенты вузов (425 человек) и учащиеся средних учебных заведений (281 человек).
С большой буквы пишется только первое слово: Казахский политехнический институт им. В. И. Ленина.
Специальных указаний о переносе таких слов нет. Правило таково: «Нельзя разбивать переносом буквенные аббревиатуры, как пишущиеся одними прописными, так и пишущиеся частью строчными, частью прописными или прописными с цифрами, например: СССР, МИД, КЗоТ, ТУ-104». Таким образом, перенос форм типа (о) ву-зе, нэ-пе не запрещен.