Главные критерии - современность, актуальность, нормативность словаря. Многие нужные издания перечислены у нас в разделе "Словари".
Правильно строчными: одного из уфимских вузов.
Их много, вот один из: http://ksana-k.narod.ru/menu/rus/beloshapkova.html
Правильно: на старт соревнования вышел 71 учащийся из 22 вузов.
Предложение лучше перестроить. Возможный вариант: опрос, в котором приняли участие студенты вузов (425 человек) и учащиеся средних учебных заведений (281 человек).
Принятое написание: специальность 10.02.01 "Русский язык".
С большой буквы пишется только первое слово: Казахский политехнический институт им. В. И. Ленина.
Многое зависит от типа и адресата текста. Например, кавычки уместны, если эти разговорные названия используются в нейтральном стиле (кавычки как раз покажут принадлежность слова другому стилю) или если названия использованы в тексте, который адресован читателям, незнакомым с этими разговорными названиями вузов.