Правильно: стрижка каре.
Если имеется в виду город Стаханов, то верно: В Стаханове открылась новая фабрика.
Верно: стрижка квифф.
Верно в каком именно тексте?
Корректно: мальчишеская стрижка.
Допустимы все три варианта. Они отражают разную интонацию при произнесении.