Слово пара используется для обозначения двух однородных или одинаковых предметов, употребляемых вместе и составляющих одно целое: пара чулок, пара ботинок. Только это значение слова пара (применительно к одежде) является общеупотребительным и стилистически нейтральным.

Однако в разговорной речи словом пара называют предмет, состоящий из двух одинаковых, соединенных вместе частей: пара брюк, пара трусов, пара штанов (также пара ножниц и др.). Везде имеется в виду один предмет, и такое употребление не должно выходить за рамки разговорной речи.

Общеупотребительный вариант: двое трусов, двое брюк, двое штанов.

Правильно: носков. Некоторые словари признают правильной также форму носок.

Оба сочетания правильны.

Следует заключить в кавычки название спального мешка "Крым". 

Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.

Правильно: я продлю срок (что сделаю), я продлеваю срок (что делаю). 

См. ответ на вопрос № 281896.

Оба сочетания возможны, выбор предлога зависит от контекста. Ср.: за весь срок действия заграничного паспорта так ни разу и не выехал из России и эти условия распространяются на весь срок действия договора.