Айда – разговорное слово, в непринужденной устной речи его употребление корректно.

С вопросом о происхождении фамилии Вы можете обратиться в ИИЦ «История Фамилии».

Кавычки не ставятся.

Союзы ли…или рассматриваются в сложноподчиненных предложениях как повторяющиеся, а потому придаточные части сложноподчиненного предложения, связанные этими союзами, разделяются запятой: Интересно, жаль ли ей собаку, или она рада?

Корректно: алашордынцы.

Поставленная Вами запятая нужна.

Запятая перед союзом и не нужна.

вы написали верно. См. «Письмовник».

Согласно структурному (синтаксическому) принципу русской пунктуации, запятая перед союзом и не нужна, так как оба сказуемых, умру и рада, относятся к одному подлежащему — я. Вместе с тем семантика этих сказуемых такова, что пишущий, очевидно, чувствует необходимость постановки знака препинания перед и для выражения противопоставления этих двух сказуемых или для неожиданного присоединения второго из них. В этом случае ставится тире: Я умру — и очень рада, что умру.

Запятая поставлена между частями сложноподчиненного предложения.