Имя Ара склоняется по модели папа: папы Ары, папе Аре, папу Ару и т. д.
Айда – разговорное слово, в непринужденной устной речи его употребление корректно.
Такое употребление возможно, однако назвать полными синонимами союзы если и что в этой функции нельзя.
Кавычки не ставятся.
Корректно: алашордынцы.
С вопросом о происхождении фамилии Вы можете обратиться в ИИЦ «История Фамилии».
Союзы ли…или рассматриваются в сложноподчиненных предложениях как повторяющиеся, а потому придаточные части сложноподчиненного предложения, связанные этими союзами, разделяются запятой: Интересно, жаль ли ей собаку, или она рада?
Поставленная Вами запятая нужна.
Запятая перед союзом и не нужна.