Правильно: не "Анну..." ли "...Каренину" вы читаете? Не "Времена..." ли "...года" вы слушаете?
Женское имя Анар склонять не следует.
Нет, не в любом. Существуют так называемые нечленимые предложения: формулы речевого этикета вроде Пожалуйста, реплики типа Ну ладно, Да ты что? и т. п.