Слово "город" требуется только в канцелярской речи (в город Анапу).

Корректно: набор из трех видов сыра.

Словари сообщают, что существительное виноград употребляется только в форме единственного числа, и, следовательно, она используется не только тогда, когда обозначается кисть с множеством ягод, но и в случаях, когда передается значение множественности разных кистей.

Оба варианта написания верны, однако расположение определения после определяемого слова (набор подарочный) соответствует только канцелярскому стилю речи. 

Правильно: борщовый набор.

Мужская фамилия склоняется, женская нет. 

1. Если речь идет о нескольких предметах, входящих в набор, то можно использовать обе формы сказуемого.

2. Правильнее было бы говорить о деталях изделия.

Корректно слитное написание: Он вернул набор непишущих ручек и набор незаточенных карандашей.