Оба варианта соответствуют грамматической норме.
Правильно: МИД направил ноту.
Такой уловки нет, да и нужно ли? Название царства мертвых Аид совпадает с личным именем царя мертвых, соответственно и написание одинаковое.
В образцовой литературной речи предпочтительно: глава МИД. В разговорной речи возможно: глава МИДа.