Фамилия Осмола склоняется. Например: Ирине Александровне Осмоле.
Название обычно не склоняется, если род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают. Верно: музей, школа села Прасковея.
Можно сказать: школа пополнилась двадцатью учениками.
Название без родового слова следует склонять: учитель «Ивановской основной школы» — филиала МБОУ «Петровская средняя школа».
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Эти сочетания пишутся без кавычек.
Корректно со строчной: 22-я школа воздушных стрелков-радистов.
Московская электронная школа как название организации, электронного ресурса, проекта правильно писать с заглавной буквы. Но теоретически это сочетание может быть использовано и не как название, тогда его нужно писать со строчной буквы.
