Правильно: третье декабря, третьего декабря.
Выбор предлога зависит от того, как именно упала стрела. Если она погрузилась в трясину (представим, что из болота торчит только кончик стрелы), тогда: упала в болото. Если же стрела аккуратно легла на какую-то кочку на поверхности болота и там осталась, тогда: на болото.
Да, деепричастие образовано верно. Учась в школе — корректное сочетание.
См. вопрос 272627.
Правильно: день Ивана Купалы.
Нет, запятая не нужна.