Корректно: Трасса здоровья.
Нет, в русском языке не склоняются имена и фамилии, оканчивающиеся на -а с предшествующим гласным.
Существительное тапка женского рода (и тапочка тоже).
Кавычки не нужны.
Это качественное прилагательное.
Предпочтительно: ткала.