Названия сел, городов, деревень и т. д. в кавычки не заключаются.

Название праздника День города пишется с большой буквы, такова рекомендация словарей и справочников. По аналогии также уместно писать с большой буквы и День села (праздник).

вы написали верно. См. «Письмовник».

Это название склоняется как нарицательное существительное жаворонки (за исключением формы винительного падежа).

Название Экажево без родового слова должно склоняться, так как оно образовано по русской модели с помощью суффикса -ов(о) и связано с именем Экаж и фамилией Экажев (ср. Иваново, Павлово). Однако топонимы на -ово в живой речи обнаруживают тенденцию к утрате склонения. Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Азбучные истины». 

Географические названия в сочетании с родовым словом обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают (как в приведенном примере). Поэтому верно: в селе Николаевка.

Верно без кавычек.

Да, название склоняется.

Правильно: сельчане.

При аббревиации тире опускается: МОУ ООШ села Семеновка.