Эти сочетания пишутся с маленькой буквы.
Правильно: по развитию Северной Осетии – Алании. Обратите внимание: между частями названия ставится тире (не дефис).
Поскольку глаза — неодушевленное существительное, верно: северные.
Корректно со строчной оба слова.
Правильно: в Северной и Южной Корее.
Правильно: на побережье.