Предлог несмотря на пишется слитно (несмотря на все трудности), деепричастие — раздельно (не смотря по сторонам).
В рубрике "Проверка слова" на нашем портале Вы найдете такой словарь.
Запятая перед деепричастным оборотом нужна.
Здесь кавычки не нужны.
Правильное написание названия праздника: Новый год.