Это краткое причастие. Ср.: включена.
Предлог по в значении 'после' требует постановки существительного в форму предложного падежа (не дательного!).
Запятая нужна.
Фраза в целом корректна, однако некоторая грамматическая шероховатость в ней ощущается.
Склонение было бы логичным при таком написании.
Прежде всего следует принять во внимание то, в каком предложении употреблено это словосочетание и какое значение оно выражает. Вне контекста давать грамматическую характеристику слову не следует. Допускаем, что слово палочек может быть дополнением, обозначающим объект действия «упаковка».
Такая форма корректна. Предлог "по" в значении "после" используется с существительным в форме предложного падежа.