Верно: родился в имении Ясная Поляна; в городе Минске; она танцевала с князем Андреем Болконским.
Мужская фамилия Воляник склоняется (Воляника, Волянику), женская – нет.
Мужская фамилия Воляник склоняется, женская – нет. Если у Вас сын, правильно: выдан Волянику, если дочь, правильно: выдан Воляник.
Законы русской грамматики требуют склонения всех мужских фамилий, оканчивающихся на согласный, независимо от их языкового происхождения. Единственное исключение – фамилии на -ых, -их типа Черных, Долгих.
Допустимы варианты переноса пол-дник, полд-ник.
Правильно: Полонику Алексею, Заяцу Сергею или (если таково желание носителя фамилии) Зайцу Сергею. Несклонение этих мужских фамилий неправильно.
Да, винительный падеж. Чтобы это проверить, достаточно подставить слово первого (по школьной грамматике) склонения, где окончания родительного и винительного падежей различаются: следы привели девочку на поляну.