Возможны варианты оформления названия: корпус «Под гербом»; Корпус под гербом.
Верно: замаскироваться под кого-что-либо.
Правильно: под подпись или под расписку.
В значении "встретились" корректно: съехались под Москвой.
Правильно: промок под дождем.
Хотя интересующие Вас глаголы и синонимичны в значениях "оказаться под воздействием, влиянием кого-, чего-л., в зависимости от кого-, чего-л." (подпасть) и "испытать воздействие, влияние каких-л. обстоятельств, обнаружить себя в каком-л. положении (обычно неблагоприятном, неприятном, опасном)" (попасть), возможность их употребления ограничена лексической сочетаемостью. Корректно: попасть под дождь, подпасть под обаяние, подпасть под санкции.
Верны варианты: ознакомить под подпись, ознакомить под расписку. См.: Подпись, роспись и виза.
