Запятые ставятся.
Запятая ставится при втором смысловом варианте.
Предпочтительно: пОдали, но допустимо и подАли.
Такой вариант допустим, хотя предпочтение словари отдают варианту подали.
Тире здесь возможно как интонационный знак. Решение о его постановке принимает автор текста.
Корректно: А потом, не сговариваясь, оба поехали поступать в медицинский институт в Нижний Новгород.
Буд. вр.: поеду, поедешь, поедет, поедем, поедете, поедут.
Прош. вр.: поехал, поехала, поехало, поехали.
Наст. вр. у глаголов сов. вида не образуется.
Буд. вр.: буду, будешь, будет, будем, будете, будут.
Из форм наст. вр. существуют только форма 3 л. ед. ч. есть и книжн. форма 3 л. мн. ч. суть.
Прош. вр.: был, была, было, были.