Верно без буквенного наращения: в начале XX века.
Верно: ...века (в единственном числе).
Первые два варианта вполне возможны.
Предпочтительно: прожила добрые (добрых) четверть века.
Пишется со строчной: президиум ВАК.
Корректно: греческие "Темные века".
Варианты равноправны.