Поскольку приложение относится к существительному внутри деепричастного оборота, нужна только вторая из указанных запятых: Погладив печать — серебряную луну в кольце, — она отдала письмо.
Правильно: Нет ни одной семьи, которой бы не коснулась война.
Кавычки не требуются. Правильно: не где-нибудь, а...
Если это первая часть сложного предложения, то верно: Кто бы ни бывал у нее на посылках...
Деепричастие не мешкая не выделяется запятыми: И я ей не мешкая ее отдал.
Здесь нужна частица НЕ.