Да, фамилия склоняется.
Правильно: ложись.
Следует склонять это название.
Эти женские фамилии нужно склонять.
Корректно: телефон лежит в изголовье; положить в изголовье; склониться у изголовья больного.
Да, если глаголол ложи́ться употреблен в следующем значении:
ЛОЖИ́ТЬСЯ, несов. (сов. лечь). Располагаться (расположиться) где-л., приняв горизонтальное положение (о людях и некоторых животных) [impf. to lie down; to go to bed]. В девять вечера Сонечка всегда ложилась спать, хотя заснуть долго не могла, и мама читала ей сказки. На осмотре врача больной лег на спину.
Мужская фамилия Грэй должна склоняться (Грэя, Грэю), женская фамилия не склоняется.
Корректно склонять.
Нет, женские фамилии, оканчивающиеся на согласный, не склоняются.