Предпочтителен второй вариант.
Это слова этимологически родственные, но в современном русском языке они однокоренными не являются.
Деепричастный оборот нужно обособить запятой.
В разговорной речи такое употребление возможно. Но стилистически нейтрально: У тебя же завтра выходной?
Корректно: чей день рождения и у кого-то день рождения.
Правильно дефисное написание: нам придется сегодня-завтра оставить квартиру. Но обратите внимание: сочетание не сегодня завтра пишется без дефисов.
Предпочтительно: за-втра.