Основное правило: класть употребляется без приставки, -ложить употребляется с приставкой (класть, кладу, наложил, выложил).
Оба варианта верны.
Склонять следует только мужскую фамилию: диплом выдан Андрею Таращуку.
Фраза построена неверно. Правильно: Когда мы пришли домой, она готовила ужин.