Женское имя Мерсе́дес обычно произносится с ударением на втором слоге в соответствии с произношением в языке-источнике (по происхождению это испанское имя). Однако название марки автомобиля закрепилось в русском языке с ударением на третьем слоге, это произношение кодифицировано в словарях.

Корректно: Из-за тумана солнце выглядело так, будто его вместе с небом застелили серой простынёй, — бледное размытое пятно.

Вы правы в том, что исходно это слово, конечно, является причастием. Но причастия, как мы знаем, могут переходить в прилагательные. При этом в их значении утрачивается связь с идеей процесса, а вместе с нею и способность управлять агентивным дополнением и другими распространителями, которые актуализируют идею процесса. Когда мы восклицаем Какие воспитанные дети!, нам не приходит в голову распространить воспитанные агентивным дополнением, это звучало бы странно: *Какие воспитанные няней дети! Зато причастие, перешедшее в прилагательное, приобретает способность присоединять обстоятельство степени: Это очень воспитанные дети. Как известно, это признак качественных прилагательных, причастие к этому неспособно.

Вывод: нужно смотреть не на абстрактные примеры, а на конкретное предложение. Если в нем при слове воспитанный возможна вставка агентивного дополнения или других компонентов, актуализирующих идею процесса (например: Воспитанный в суровой, даже спартанской обстановке, наш герой не боится трудностей), то перед нами причастие. Вставка обстоятельства степени типа очень, весьма и т. п. при этом невозможна. И наоборот: если такое обстоятельство возможно, то невозможно агентивное дополнение, указание на условия процесса воспитания и т. п. Тогда перед нами прилагательное.

Обобщающим в данном случае могло бы быть слово семья (Ребенок любит отца и мать, брата и сестру — свою семью). Существительное дом имеет в том числе и значение 'семья, люди, живущие вместе, одним хозяйством', однако употребление его в этом значении ограничено немногочисленными сочетаниями типа дружить домами. Вне подобных сочетаний слово дом употребляется в значении 'семья' только по отношению к царствующей династии (дом Романовых).

Вы правы, запятая не нужна. Если вводное слово или вводное сочетание слов стоит в начале или в конце обособленного члена предложения, то оно не отделяется от него знаком препинания, т. е. запятые выделяют член предложения вместе с вводным словом.

Причастие, имеющее при себе зависимое слово (здесь — на то), пишется раздельно с не: Подача заявления (запроса) от имени заявителя не уполномоченным на то лицом.

Слитное написание правильно.

Слово необдуманные действительно более уместно.

Лучше: вместе с движением Росмолодежь. Однако вариант вместе с Росмолодежью допустим в разговорной речи.

Написание буквы с в этом слове проверить невозможно. Это написание запоминается. Впрочем, буквосочетание зт в русском языке встречается только в глаголах типа лезть, грызть, ползти, везти и в некоторых сложносокращенных словах (физтех, сельхозтехника).