Правильно: живу в Дне. Хотя рекомендуется употребление родового слова: живу в городе Дно.
Ответ на этот вопрос Вы найдете, если обратитесь к словарям.
Прозвище будет склоняться.
Кавычки не нужны.
Такая форма слова дно неверна. Правильно: доньев.
ДНК – существительное женского рода (по стержневому слову кислота).