Да, дефис нужен. Подобные сочетания фиксируются орфографическим словарем. 

Если Вы имеете в виду пары типа любить — люблю, лепить — леплю, то в них происходит чередование б/бл, п/пл, которое входит в корень слова. Другие примеры подобного чередования см. в пособии Е. И. Литневской «Русский язык. Краткий теоретический курс для школьников».

Да, тире между подлежащим и сказуемым в предложении ставится, если какой-либо из этих главных членов выражен инфинитивом (в данном случае — учить). См. параграф 12 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).

Синтаксическая связь в словосочетании надеть пальто обозначена в наших ответах как управление неизменяемым словом, то есть всё же управление. То же самое можно сказать и о синтаксической связи в остальных приводимых Вами словосочетаниях.

В таких предложениях это частица. Частицы, как и все служебные слова, не являются членами предложения.

Правильно: к шестисотпятидесятилетию города.

См. ответ на вопрос № 311104.

Написание приведенных сочетаний одинаковое (с двумя дефисами), оно подчиняется правилу.

Тире нужно: сказуемое выражено оборотом с числительным (одна из фигур).

Нужно закрыть запятой сравнительный оборот: Мы ищем таких, как ты, — энергичных и целеустремленных людей.