Как название организации сочетание нужно писать в кавычках.
Слово Европиада в русском языке состоит из корня Европ- и суффикса -иад- (ср.: Олимпиада, спартакиада, универсиада).
Лучше всего: (школьная) олимпиада по истории.
Правильно: Берлинская Олимпиада 1936 года.
Слова зимний и летний в названиях Олимпийских игр пишутся строчными. Цифры лучше оставить римские. Корректно: XXXI летняя Олимпиада.
Можно написать: Евроолимпиада (хотя такое название не вполне корректно само по себе).
Вы имеете в виду Всероссийскую олимпиаду школьников? С большой буквы.
Сочетание XXII зимняя Олимпиада не является официальным названием этого спортивного события, поэтому здесь "зимняя" со строчной.
См. также: 2869">http://www.gramota.ru/lenta/news/82869
Слово Олимпиада в знач. 'Олимпийские игры' пишется с прописной буквы: зимняя Олимпиада, домашняя Олимпиада. Но: Белая олимпиада (образное название).
Слово олимпиада в знач. 'соревнования, состязания в чем-либо' пишется строчными: домашняя олимпиада по физике.
Правильно: лондонская Олимпиада, сочинская Олимпиада, московская Олимпиада.