Пожалуй, возможно мнемоническое правило о стилистической окраске глаголов, включающих компоненты класть и ложить: ложат только с приставками, а кладут без приставок. С помощью орфографического академического ресурса «Академос» несложно удостовериться в том, что правило работает. Так, по запросу *ложить выдаются только приставочные глаголы, и все они не имеют сниженной стилистической окраски (вложить(ся), возложить, выложить(ся) и т. д.); по запросу *класть выдаются глаголы без стилистической пометы класть, накласть, прозакласть и глаголы с пометой сниж. закласть и покласть. При этом очевидно, что глагол накласть находится на стилистической шкале ниже отметки «нейтральное», но не так низко, как закласть и покласть, и это отмечается толковыми словарями, в которых стилистическая характеристика дается более дифференцированно, чем в орфографических источниках (см., например, накласть). Глагол же прозакласть практически не употребляется. Таким образом, из глаголов с компонентом класть стилистически безупречен лишь бесприставочный класть. Но предложенное мнемоническое правило ограничено названными в нем глаголами, оно не охватывает слова с корнем -клад-: многие из них, такие как уклад, приклад, расклад, склад, складировать и др., стилистически нейтральны.

О мнемонических правилах можно прочитать здесь. 

Можно. Но лучше: Какое масло ты используешь для салата, добавляешь в салат и т. д.

Верно: класть, но положить.

Оба глагола можно использовать в данном значении – кладу и укладываю.

Не только он. Еще складывать, подкладывать, накладывать и т. д.

Ложить – просторечие. В русском литературном языке есть только глагол класть.

Да, от глагола действительного залога класть образуется глагол страдательного залога класться, являющийся стилистически нейтральным. Например: чемодан кладется на нижнюю полку, на верхнюю полку чемодан не кладется.

Вы правы. Верно: В отсутствие секретаря документы на стол не класть.

Оба глагола можно использовать.

Класть — общеупотребимое слово.

Второго указанного Вами слова в литературном языке не существует, использовать его — ошибка.