Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Корректно: сеть Интернет (интернет).
Правильно: сеть кофеен.
Смысл в том, что служб несколько и они образуют сеть? Или у ветеринарной службы (одной) есть сеть филиалов?
Верно: в честь праздника День энергетика.
Объяснение неполное и в чем-то неправильное. Например, корень, связанный с чтением, все же чередование содержит, ср.: прочесть, прочёл, дочёл (в этих словоформах корень имеет форму -чес- и -чё-). Правда, е и ё появляются лишь под ударением, и этими формами редко проверяют безударную гласную, быстрее вспоминаются формы с ударным [и] — читаный, читарь, читка. Корни, которые Вас интересуют, подробно описаны здесь.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.