Верно во всех значениях: устранить цели.
Верно: достичь целей.
Правильно: достичь цели.
Верно: умение достигать поставленных целей.
Оба варианта возможны.
Правильно только: достичь поставленной цели.
Верно: достигли цели.
Правильное управление: достигнуть (достичь) чего-либо, т. е. своей достигнув цели.
Правильно: воспитательная цель.
Правильно: достигать (чего?) своих целей.