Правильно раздельное написание: ехать за город. См. также словарную фиксацию.

Разговорное слово межгород пишется слитно: позвонить по межгороду.

Правильно. Слова город и огород этимологически родственные (слово город, как и огород, первоначально означало 'огороженное место'), но в современном русском языке однокоренными не являются.

Слово "город" требуется только в канцелярской речи (в город Анапу).

Правильно: в Москву.

Верно: поеду в город Москву. Но лучше в этом предложении слово город не употреблять: Поеду в Москву.

В живой речи слово город здесь будет лишним. Сочетание город Санкт-Петербург характерно для канцелярского языка.

Правилен первый вариант. Название города Хива освоено и поэтому в сочетании со словом город склоняется. Ср.: Так наконец мы проникли настолько внутрь города Хивы, что оказались в самой Хиве, той, что является ее красой и славой, той, что является Хивой для всех нехивинцев… (А. Битов. Обоснованная ревность); Устроив Ханом в комнате, Чагатаев ушел наружу и до вечера ходил по городу Хиве... (А. Платонов. Джан).

См. «Письмовник».