Верно в этом случае: Это подопечный нашего тренера.
Корректно: тренер по...
Спасибо! И Вас с Новым годом!
Кавычки не нужны: турнир Большого шлема.
По основному правилу тире не требуется.
Рекомендуем писать с маленькой буквы, желательно в кавычках.
Предпочтителен первый вариант.