Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются. Фамилия Заграй оканчивается на согласный j (обозначаемый буквой Й), поэтому обязательно должна склоняться. Женская фамилия Заграй не склоняется.
Мужская фамилия Чиграй склоняется, женская – нет.
Правильно: С наступающим годом Тигра!
Запятая перед союзом и не требуется.
Да, эту фамилию, принадлежащую мужчине, нужно склонять.
Запятая не ставится.