У слова "третий" основа оканчивается на -j (то есть все слово - основа), а в косвенных падежах основа звучит как "третьj". Поэтому верно: третье, третья, третьего и т. д.
Подробности здесь: http://rusgram.narod.ru/1315-1341.html
Пунктуация верна.
Правильно: с 17-летием.
В поздравлении лучше всего написать буквами, а не цифрами: Поздравляем с шестидесятилетием. Если нужна экономия печатных знаков (например, в тексте газетного объявления), то допустимо: Поздравляем с 60-летием.
Оба варианта возможны.