Разные справочники дают разные рекомендации (подробнее см. в "Письмовнике"). На практике названия городов из двух слов, если они следуют после родового слова город, чаще не склоняют.
Вероятно, с этим вопросом надо обратиться в администрацию Нижнего Тагила.
Имеется в виду существительное отгул (отпуск за сверхурочную работу)? Множественное число: отгулы.
Эти сочетания пишутся без кавычек.
Верно склонение без выпадения гласной: нет Шагола.
Правильно без кавычек: бухта Богородское Озеро и т. д.
Верно: Таруса, Болшево.