Предпочтительно: прожила добрые (добрых) четверть века.
Корректно: начало – третья четверть ХХ в.
Следует писать с большой буквы (как и фазы Луны).
Корректно слитное написание: четвертьэллиптический.
Слово месяц в русском языке употребляется в значении 'лунный диск или его часть' (любая, не обязательно одна четвертая). О луне в первой четверти можно сказать молодой месяц. А полумесяц – ''неполная луна, лунный серп'.